DEFINISI LIMIT BARISAN
Misalkan X=(xn) suatu barisan. Bilangan real x disebut limit barisan
X=(xn), jika untuk setiap e>0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga
untuk setiap n³K(e), suku-suku xn berada pada lingkungan- e dari x (
Ve(x)).
Selanjutnya jika barisan X memenuhi definisi di atas, dikatakan X=(xn) konvergen ke x atau limX=x atau lim (xn) = x atau xn ®x.
Dari definisi barisan dapat diperoleh hasil bahwa jika
ada, LIMIT BARISAN adalah UNIK.
Dan TIDAK SEMUA BARISAN PUNYA LIMIT.
Definisi barisan di atas hanyalah untuk menguji apakah suatu titik
merupakan limit barisan atau bukan. Sehingga dengan mengambil pernyataan
kontraposisi dari definisi diperoleh, Bilangan t bukan limit dari
barisan X=(xn) jika terdapat bilangan positif tertentu d sedemikian
sehingga untuk sebarang bilangan asli K, terdapat bilangan asli m> K,
sedemikian sehingga | xm – t | ³ d.
Teorema ( untuk memudahkan mengidentifikasi suatu bilangan merupakan limit barisan atau bukan )
MISAL X=(xn) barisan, dan x bilangan real. PBE :
(a) X konvergen ke x
(b) Untuk setiap lingkungan- e dari x ( Ve(x)), terdapat bilangan asli
K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku xn berada pada lingkungan- e
dari x ( Ve(x)).
(c) Untuk setiap e>0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk setiap n³K(e), suku-suku xn memenuhi |xn-x|
(d) Untuk setiap e>0, terdapat bilangan asli K(e) sehingga untuk
setiap n³K(e), suku-suku xn memenuhi x-e< xn Dengan teorema ini dapat
dijelaskan mengapa: , , , juga dengan menentukan negasi dari teorema
ini dapat digunakan untuk menjelaskan bahwa barisan ( 0,9,0,9,0,…) tidak
konvergen ke 0, atau 9 atau bahkan ke suatu bilangan real manapun.
Untuk mengidentifikasi limit barisan selain menggunakan definisi dapat
dilakukan dengan mendefinisikan EKOR DARI SUATU BARISAN. Untuk
mengidentifikasi limit barisan selain menggunakan definisi dapat
dilakukan dengan mendefinisikan EKOR DARI SUATU BARISAN. DEFINISI X=(xn)
= ( x1, x2, …) barisan dan m suatu bilangan asli, ekor-m dari X adalah
barisan yang ditulis sebagai Xm= (xm+n : nÎN) Teorema (yang mengaitkan
kekonvergenan barisan dan ekornya) Suatu barisan konvergen jika dan
hanya jika ekor barisannya konvergen. Ini berguna salah satunya untuk
menguji kekonvergenan barisan X=( 3,5,6,7,1,45,67, ½ , 1/3 , ¼, 1/5 ,
1/6 ,… ) Teorema ( menguji konvergensi barisan dengan dominasi barisan
yang menuju 0 mulai suku tertentu) Misal A= (an) dan X=(xn) barisan, dan
x bilangan real . Jika C>0 dan untuk suatu bilangan asli m, dipenuhi
|xn – x|£C|an| untuk setiap bilangan asli n yang lebih besar atau sama
dengan m, dan lim(an)= 0, maka lim(xn)=x.
Ini berguna untuk menyelidiki kekonvergenan barisan Y= atau barisan Y=.
Juga untuk menunjukkan bahwa lim(bn)=0, untuk 00.
0 komentar:
Post a Comment