Berdasarkan definisi kekonvergenan barisan, suatu barisan dikatakan
konvergen jika barisan tersebut “menuju” ke suatu bilangan real
tertentu.
Sehingga barisan (xn) = ( n) dikatakan tidak konvergen, walaupun
secara intuisi menuju ke sesuatu bilangan yang besar. Di pihak lain dari
karakteristik barisan divergen pada hakekatnya bisa digolongkan menjadi
dua kategori yaitu karena fakta barisan tersebut “menuju” ke suatu
“bilangan yang besar” atau karena punya dua subbarisan yang “menuju”
pada dua arah ( titik ) yang berbeda. Untuk itulah perlu dibahas
ketidakkonvergenan jenis pertama yang disebut Barisan Divergen Sejati .
Berikut ini definisi dan teoremanya.
Definisi
Misalkan (xn) barisan bilangan real.
(a) Barisan (xn) disebut menuju ke +¥, dan ditulis lim(xn)= + ¥, jika
untuk setiap a di R, terdapat bilangan asli K sedemikian sehingga jika n
³ K, berlaku xn > a
(b)Barisan (xn) disebut menuju ke -¥, dan ditulis lim(xn)= – ¥, jika
untuk setiap bÎ R, terdapat bilangan asli K sedemikian sehingga untuk n ³
K, berlaku xn < b. Selanjutnya suatu barisan (xn) disebut divergen
sejati jika lim(xn)= +¥, atau lim(xn)= – ¥. Teorema Suatu barisan
bilangan real yang monoton merupakan barisan divergen sejati jika dan
hanya jika tidak terbatas. (a) Jika barisan (xn) merupakan barisan naik
tak terbatas, maka lim(xn)= +¥, (b)Jika barisan (xn) merupakan barisan
turun tak terbatas, maka lim(xn)= -¥. Teorema Misalkan (xn) dan (yn)
adalah dua barisan bilangan real dan memenuhi sifat xn £ yn untuk setiap
bilangan asli n. (a) Jika lim(xn)= +¥, maka lim(yn)= +¥. (b)Jika
lim(yn)= -¥, maka lim(xn)= -¥. Teorema Misalkan (xn) dan (yn) adalah dua
barisan bilangan real dan untuk suatu bilangan real L, L > 0
memenuhi sifat . Maka lim(xn)= +¥, jika dan hanya jika lim(yn)= +¥.
Contoh-contoh topik barisan monoton
1. Misalkan barisan Y=(yn) didefinisikan secara induktif sbb, y1=1,
yn+1= untuk n³1. Akan ditunjukkan bahwa limit barisan ini adalah 3/2.
Dari beberapa suku dapat ditunjukkan bahwa nilai suku-suku yang lebih
besar, selalu lebih besar dibanding suku sebelumnya. Untuk itu ada
kemungkinan kekonvergenannya dapat ditunjukkan melalui sifat barisan
yang monoton ( turun/naik) dan terbatas (di bawah/di atas).
Penyelidikan kemonotonan naik ( karena dari penyelidikan beberapa suku )
Akan ditunjukkan bahwa berlaku yn£yn+1, untuk setiap bilangan asli n,
dengan menggunakan induksi matematika. Yang pertama perhatikan bahwa
pernyataan tersebut benar untuk n=1, yaitu benar bahwa y1=1£=y2.
Selanjutnya asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu
bilangan asli k, yaitu yk£yk+1. Dan berdasarkan ini harus ditunjukkan
bahwa pernyataan benar untuk n=k+1, yaitu dibuktikan bahwa yk+1 £ yk+2.
Perhatikan bahwa dari rumus barisan, yn+1=
0 komentar:
Post a Comment